Investigación I. -Las paradojas de Zenón de Elea-

LAS PARADOJAS DE ZENÓN.

Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido en Elea perteneciente a la escuela eleática. Fue discípulo directo de Parménides de Elea y se le recuerda por el amplio arsenal conceptual con que defendió las tesis de su maestro. No estableció ni conformó ninguna doctrina positiva de su propia mano, en tanto que todo lo que defiende lo toma de Parménides, sino que se limitó a atacar todo planteamiento que no parta de las tesis eleáticas.

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento. Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.Los sofismas de Zenón pertenecen a la categoría de paradojas falsificas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

La primera paradoja que a continuación vamos a mencionar es la de Áquiles y la tortuga.

En esta, Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Ahora nos preguntamos ¿Cuál es el error de razonamiento de Zenón? Veremos:

Una interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, propone que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,¹ ya que, como demostró el matemático escocés James Gregory, una suma deinfinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. 

Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.

Después, mencionamos la paradoja de la flecha, que ahora mismo se explica:

Esta otra paradoja implica el lanzamiento de una flecha. Zenón afirmaba que, en cada instante, la flecha está en una posición del espacio determinada. Si el periodo de tiempo considerado es lo suficientemente pequeño, la flecha no alcanzará a moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, el mismo razonamiento puede aplicarse a los restantes infinitos de periodos de tiempo, en los que la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De esta forma Zenón demostraba que el movimiento de una flecha es imposible, a pesar de que miles de viudas cuyos maridos habían muerto de un flechazo en el campo de batalla le insistieran con lo contrario.

La paradoja puede evitarse de varias maneras. Una de ellas es simplemente pensar que cada instante en que la flecha se percibe como “en reposo” es un algo relativo. No se puede juzgar, observando sólo una “foto” de un objeto si está o no en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con los instantes adyacentes, previos y posteriores. Al ver la “película”, podemos determinar que la flecha está en distintas posiciones en cada instante, por lo que -efectivamente- se está moviendo. Otra solución es recurrir a la definición de velocidad, cuya esencia es el cambio. El movimiento es la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (la flecha), a lo largo de la sucesión de los distintos momentos que componen el total del tiempo considerado. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

Sin embargo, XXV siglos más tarde, nos parece hasta ridículo lo que proponía Zenón. Sin embargo, si pensamos en el estado en que se encontraba la ciencia cuatro o cinco siglos antes de la era Cristiana, los razonamientos de este hombre cobran real magnitud. Debe haber sido sumamente difícil para Zenón reconciliar la (aparente) certeza detrás de sus razonamientos con las evidencias del mundo real, donde la tortuga era invariablemente la perdedora de la carrera, y las flechas llegaban a su blanco.

Mencionemos ahora, la última parádoja de Zénon, que se le conoce como de movimiento, o la de dicotomía.:

Zenón supuso tres objetos, A, B y C, el primero de los cuales (A) estaría en reposo y los otros dos moviéndose el uno hacia el otro. Aceptó como hipótesis que los objetos están compuestos de puntos, y el tiempo de instantes, ambos indivisibles. En este caso, si los puntos B₁ y C₁ tardan un instante en situarse junto al punto A₁, entonces, los diferentes puntos de B y C han avanzado dos posiciones relativas en ese mismo instante. Es decir, el punto C₁, por ejemplo, ha pasado en ese instante de estar frente al punto B₃ a estar frente al punto B₁, sobrepasando al punto B₂, por lo que ha habido un lapso de tiempo menor que un instante en el que dicho punto C₁ ha estado frente al punto B₂... Pero como como habíamos supuesto que el instante es indivisible, el resultado no es coherente con las hipótesis de partida.